日期:2019年10月10日    0

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前言

变分法

泛函极值:

高数中,我们求极值,可以用$f’(x)=0$这个方法。 类比,在泛函中,如果一个函数满足欧拉拉格朗日方程,这个函数可以成为最大值的函数。

前导线性代数知识

只写泛函用到的一些前导线代基础概念:

二次型相关概念

  • 二次型:$x_1^2+3x_2^2-5x_3^2+4x_1x_2-8x_2x_3$,可写成$X^TAX$
  • 标准型:$x_1^2+3x_2^2-5x_3^2$,只有2次项
  • 规范性:$x_1^2+x_2^2-x_3^2$,标准型系数为$\pm1,0$

特征向量相关概念

两个有意思的性质:

  • $\sum\limits_{i=1}^n a_{ij} = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i$ :矩阵A主对角线的元素相加,等于,所有特征值相加
  • $|A|=\prod\limits_{i=1}\lambda_i$:矩阵A行业式值,等于,所有行列式相乘

相似对角化概念

相似:如果$PAP^{-1}=B$,则称$A~B$,即A相似于B

相似对角化:如果$PAP^{-1}=\Lambda$,其中$\Lambda$是一个对角矩阵(就是只有对角线为非0,其余都是0),就称A可相似对角化

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[参考]

  • 远航君的线性代数讲座

泛函分析(孙炯)

第一章

第一节

运算=算子,映射:空间⇒空间,泛函是从“变分、微分方程、积分方程、函数论、量子物理”综合基础上发展出来的。使用几何、代数的方法,研究无限维的函数、算子、极限。所谓几何,就是研究“垂直、距离、长度”,专业词汇“距离、范数、内积”

泛函,就是类比解析集合,那些点,就变成了函数,sin,cos。。。,但是给他们加上距离、范数、内积这些。这个时候函数变成了无穷维,泛函就变成了无穷维到无穷维的变换。既然是无穷维,收敛性就变得很重要了。“收敛性”是泛函中的一个最重要的问题。泛函研究方法,是尝试把有限维空间的方法搬过来。

向量分解

正交坐标系:$\vec{i}=(1,0,0),\vec{j}=(0,1,0),\vec{k}=(0,0,1)$

内积:$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{a},\vec{b}) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot cos(\theta)$ 其中:$a_1 =( \vec{a_1},\vec{i}), a_2=(\vec{a_2},\vec{j}), a_3=(\vec{a_3},\vec{k})$

“投影”:可以表示为和单位向量的内积:$a(a1,a2,a3), 投影a1=(a,i), 投影a2=(a,j), 投影a3=(a,k)$,$i,j,k$是单位向量,$(a,k)$是内积。

模:$|a|=\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

由上面的公式们,还可以进一步推导出:

$\vec{a} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k} = (\vec{a_1},\vec{i})\vec{i} + (\vec{a_2},\vec{j})\vec{j} + (\vec{a_3},\vec{k})\vec{k} $

$|a|^2=\sum\limits_{i=1}^n |(\vec{a},\vec{e})|$




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