前言
变分法
泛函极值：
高数中，我们求极值，可以用$f’(x)=0$这个方法。 类比，在泛函中，如果一个函数满足欧拉拉格朗日方程，这个函数可以成为最大值的函数。
前导线性代数知识
只写泛函用到的一些前导线代基础概念：
- 二次型：$x_1^2+3x_2^2-5x_3^2+4x_1x_2-8x_2x_3$，可写成$X^TAX$
- 标准型：$x_1^2+3x_2^2-5x_3^2$，只有2次项
- 规范性：$x_1^2+x_2^2-x_3^2$，标准型系数为$\pm1,0$
两个有意思的性质：
- $\sum\limits_{i=1}^n a_{ij} = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i$ :矩阵A主对角线的元素相加，等于，所有特征值相加
- $|A|=\prod\limits_{i=1}\lambda_i$：矩阵A行业式值，等于，所有行列式相乘
相似：如果$PAP^{-1}=B$，则称$A~B$，即A相似于B。
相似对角化：如果$PAP^{-1}=\Lambda$，其中$\Lambda$是一个对角矩阵（就是只有对角线为非0，其余都是0），就称A可相似对角化。
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[参考]
- 远航君的线性代数讲座
泛函分析(孙炯)
第一章
第一节
运算=算子，映射：空间⇒空间，泛函是从“变分、微分方程、积分方程、函数论、量子物理”综合基础上发展出来的。使用几何、代数的方法，研究无限维的函数、算子、极限。所谓几何，就是研究“垂直、距离、长度”，专业词汇“距离、范数、内积”
泛函，就是类比解析集合，那些点，就变成了函数，sin，cos。。。，但是给他们加上距离、范数、内积这些。这个时候函数变成了无穷维，泛函就变成了无穷维到无穷维的变换。既然是无穷维，收敛性就变得很重要了。“收敛性”是泛函中的一个最重要的问题。泛函研究方法，是尝试把有限维空间的方法搬过来。
向量分解
正交坐标系：$\vec{i}=(1,0,0),\vec{j}=(0,1,0),\vec{k}=(0,0,1)$
内积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{a},\vec{b}) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot cos(\theta)$ 其中：$a_1 =( \vec{a_1},\vec{i}), a_2=(\vec{a_2},\vec{j}), a_3=(\vec{a_3},\vec{k})$
“投影”：可以表示为和单位向量的内积：$a(a1,a2,a3), 投影a1=(a,i), 投影a2=(a,j), 投影a3=(a,k)$，$i,j,k$是单位向量，$(a,k)$是内积。
模：$|a|=\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
由上面的公式们，还可以进一步推导出：
$\vec{a} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k} = (\vec{a_1},\vec{i})\vec{i} + (\vec{a_2},\vec{j})\vec{j} + (\vec{a_3},\vec{k})\vec{k} $
$|a|^2=\sum\limits_{i=1}^n |(\vec{a},\vec{e})|$